Nudos: del asombro a las matemáticas

POR Mauricio-José Schwarz

Los primeros son de hace casi 17 mil años. Aun así, encierran algunos misterios. Fue el matemático alemán Carl Friedrich Gauss quien empezó a estudiar los nudos desde un punto de vista matemático, desarrollando una forma de obtener un número que describe, si enlazamos dos curvas cerradas en el espacio, cuántas veces se entrelazan o cruzan

La vida y seguridad de muchas personas depende de los nudos: bomberos, espeleólogos, montañeros, leñadores, camioneros, mineros, portuarios, lavaventanas, técnicos de escena de todo tipo (teatro, circo, conciertos), y todos quienes tienen que escalar por deporte o profesión, como los técnicos que trabajan sin andamios. Por no hablar de quienes tienen los nudos como su actividad básica, que es el caso de los artesanos del macramé y el tejido de punto, que no es sino una sucesión de nudos.

Los primeros indicios de nudos tienen una antigüedad de entre 13 mil y 17 mil años. Pero la presencia de objetos perforados, agujas y ciertas representaciones artísticas hacen creer a los arqueólogos que el uso de los nudos puede datar de mucho más tiempo atrás, incluso dos millones y medio de años. Sin nudos no hay redes de pesca, trampas de cacería, arpones y arcos o cestería, ni se pueden atar animales domésticos o hacer balsas, entre otras muchas actividades.

Los nudos incluso se usaron como forma de escritura de registros numéricos, los kipús de los incas con hilos anudados en un código para guardar información. Lo mismo se hizo en China hacia el año 500 adC, y para el 1000 ddC el anudado se convirtió en una artesanía que aún tiene adeptos y admiradores. Son famosos también los nudos celtas como símbolos y elementos decorativos popularizados desde los últimos años del imperio romano.

Leonardo da Vinci ejemplifica nuestra fascinación por los nudos al incluirlos en la mitad de las apenas quince pinturas que nos legó, entre ellas La Gioconda, La anunciación, La dama del armiño y, por supuesto, La última cena, cuyos nudos en las esquinas del mantel han sido materia de especulaciones, a veces extraordinariamente fantasiosas con pretensiones místicas y misteriosas, sobre todo porque los nudos han tenido en muchas culturas una presencia simbólica.

Incluso hoy, nuestra vida diaria está llena de nudos, aun si descontamos las telas, que para algunos estudiosos no son sino hilos anudados de formas complejas. La corbata común y corriente puede ponerse usando diversos nudos, 85 de acuerdo con los expertos en moda masculina, desde el sencillo Kent hasta el Windsor o el Balthus, de creciente complejidad. Y los cordones de los zapatos siguen anudándose de distintas formas, algunas meramente decorativas, otras destinadas a mantener una fijación adecuada, por ejemplo, en los pies de atletas de las más diversas disciplinas.

De modo bastante natural, los nudos se convirtieron en asunto de interés de la topología, una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de un objeto sin importar cuánto se le deforme. Para un topólogo, un donut y una taza son el mismo objeto, pues un donut infinitamente elástico se puede moldear como una taza conservando su único agujero. Y, de hecho, la persona que se puede tomar el café con el donut es también igual, pues tiene un solo agujero, el de su aparato digestivo. Los tres se llaman “toros”. La topología se ocupa así de la posición de los objetos más que de su medición. Las distancias no importan, importa la forma. Un círculo, un triángulo y un cuadrado son topológicamente iguales porque se pueden convertir en cualquiera de los otros sin cortarse.

Fue el matemático alemán Carl Friedrich Gauss quien empezó a estudiar los nudos desde un punto de vista matemático, desarrollando una forma de obtener un número que describe, si enlazamos dos curvas cerradas en el espacio, cuántas veces se entrelazan o cruzan. En la teoría matemática de nudos, a diferencia de la vida real, los extremos de la cuerda o curva anudada están unidos siempre entre sí, formando un bucle cerrado, de modo que el nudo no puede desatarse.

Combinaciones

Imaginemos cualquier nudo que podamos hacer en una cuerda y, al terminarlo, unimos los extremos. Luego hagamos otro nudo distinto en otra cuerda y también vamos a unir sus extremos. Tenemos así dos lazos que se entrecruzan entre sí. La pregunta que se hace un matemático es si esos dos nudos son topológicamente iguales, es decir, si uno de ellos se puede convertir en el otro o no. Un lazo sin anudar, un simple círculo de cuerda, sería para el matemático un “nudo trivial” o un “no nudo”, mientras que un lazo que contenga un nudo sencillo es un “nudo de trébol”, que tiene tres entrecruzamientos. Sólo hay un tipo de nudo matemático posible con tres entrecruzamientos, del mismo modo que sólo hay un tipo de nudo matemático con cuatro entrecruzamientos.

Donde los matemáticos empiezan a entretenerse es cuando sus nudos topológicos contienen más de cuatro entrecruzamientos. Hay dos tipos posibles de nudos con cinco entrecruzamientos, y son diferentes porque no se pueden convertir el uno en el otro. Hay tres nudos posibles de seis entrecruzamientos, siete nudos de siete entrecruzamientos, 21 de ocho, 49 de nueve y el número de nudos posibles crece con los entrecruzamientos.

Pero a ciertos niveles de complejidad, los matemáticos aún tratan de determinar cómo saber si dos nudos enormemente complejos, de cientos de entrecruzamientos, son o no topológicamente iguales. Hay distintas formas de representar los nudos, todas buscando diferenciar con claridad los casos posibles. En la búsqueda de teoremas claros y demostrables, esta es una asignatura pendiente en la teoría de nudos.

Sin embargo, los resultados del trabajo matemático en cuanto a nudos tienen aplicaciones prácticas en varios terrenos. Por ejemplo, cuando el ADN se copia al dividirse una célula, o cuando produce ARN para crear una proteína, la estructura del ácido nucleico debe desdoblarse y hacer una copia entrelazada consigo misma. Esto se consigue mediante enzimas que cortan, anudan y reconectan las moléculas. La dificultad de la tarea se puede medir utilizando elementos de la teoría de nudos. La forma en que las propias proteínas se pliegan, y que es fundamental para sus funciones, también puede abordarse con aspectos de la teoría de nudos. Y, finalmente, por su propia complejidad, se está usando la teoría de nudos para crear claves de seguridad criptográfica, aspecto esencial de nuestro mundo digitalmente anudado.

El gordiano

Dice la leyenda que cuando Alejandro Magno ocupó la ciudad de Gordio, capital de Frigia, se encontró con una carreta atada al yugo con un nudo tan apretado y enredado que “era imposible ver cómo estaba fijado”, de acuerdo con un autor romano. Los frigios creían que quien pudiera desatarlo se convertiría en el soberano de Asia. Alejandro, después de intentar desatarlo sin lograr avanzar, lo golpeó con su espada cortándolo y deshaciéndolo. La presunta profecía se cumpliría con el avance conquistador del macedonio sobre Asia. Pocos han tenido en cuenta que el famoso guerrero hizo trampa, pues en realidad no desató el nudo.

FOTO Portada Get yourself all tangled up by trying The Knot sex position (The Sun)

Tomado de:El Correo. Diciembre 12, 2020.